Wydaje się, że wielościanami interesują się przede wszystkim uczniowie, gdy rozwiązują zadania z geometrii. Do czego jeszcze mogą się przydać te pełne uroku figury?
Piękno kojarzy się nam zazwyczaj ze sztuką, np. malarstwem, muzyką, literaturą... Są jednak w matematyce, a w geometrii szczególnie, działy, których wizualne efekty mogą zainteresować każdego. Jednym z takich fragmentów matematyki jest teoria wielościanów.
Ze szkoły wynosimy raczej niewielką wiedzę na temat wielościanów; uczymy się głównie o graniastosłupach i ostrosłupach. I na ogół nie zdajemy sobie sprawy, że rodzina wielościanów jest o wiele bogatsza. Można w niej znaleźć twory bardzo skomplikowane, których istnienia nawet nie podejrzewamy. Jedne odznaczają się zadziwiającą symetrią, inne natomiast są wyjątkowo nieregularne.
Wielościany od najdawniejszych czasów są obiektem zainteresowania ludzi; tym bardziej że przyroda dostarcza ich przykładów w postaci kryształów. Kształt sześcianu mają kryształy soli kamiennej, piryt przybiera czasem formę niezwykłych i tajemniczych dwunastościanów, a fluoryt można spotkać w postaci ośmiościanów - dwóch piramid sklejonych podstawami.
Już Pitagorejczycy znali podobno wszystkie najbardziej regularne wielościany nazywane foremnymi. Wielościany foremne zbudowane są z jednakowych wielokątów foremnych, ponadto w każdym ich wierzchołku schodzi się tyle samo krawędzi. Obecnie mówimy czasem, że są to bryły platońskie. Bowiem to właśnie Platon (w dialogu "Timajos") opisał je, przyporządkowując im poszczególne żywioły: czworościanowi-- ogień, sześcianowi - ziemię, ośmiościanowi - powietrze, a dwudziestościanowi - wodę. Dwunastościan foremny miał symbolizować ład kosmiczny.
Platon znał więc wszystkie pięć wielościanów foremnych, ale chyba ani on, ani jego współpracownicy nie potrafili udowodnić faktu, że jest ich dokładnie tyle. Taki dowód można znaleźć dopiero w słynnych "Elementach" Euklidesa. Jest coś zadziwiającego w fakcie, iż wielokątów foremnych (przypomnijmy: o równych bokach i równych kątach przy wierzchołkach) jest nieskończenie wiele, a wielościanów foremnych tylko pięć.
W matematyce istnieje wiele definicji wielościanu. My przyjmiemy nie całkiem precyzyjną, ale za to prostą: wielościan to bryła, której brzeg zbudowany jest z wielokątów.
Wielościany fascynowały nie tylko naukowców, zachwycali i zachwycają się nimi artyści i architekci. Najwięksi malarze sięgali po wielościenne motywy. Leonardo da Vinci ilustrował książkę Luki Pacioliego (mnich i matematyk włoski, 1445-1517) "De divina proportione" (Boska proporcja). Albrecht Dürer w swoich grafikach też umieszczał wielościany ("Melancholia"). Salvadore Dali, cytując Leonarda, nawiązywał do platońskiego znaczenia dwunastościanu foremnego w "Ostatniej wieczerzy" i "Odkrywaniu czwartego wymiaru". Ulubieniec matematyków i fizyków, słynny artysta holenderski Maurits Cornelis Escher (1898-1972), wielu swych dziełach wykorzystywał przeróżne wielościany tak często, że na jego grafikach można uczyć się elementów ich teorii. Najsłynniejsze wielościany świata w architekturze - piramidy egipskie - widział chyba każdy, przynajmniej na zdjęciu. Przykładów takich można cytować jeszcze wiele.
Inną, w miarę prostą a efektowną, rodzinę wielościanów stanowią wielościany archimedesowe. Nazwa sugeruje, że znał je Archimedes, ale rozpowszechnił dopiero Pappus z Aleksandrii żyjący 500 lat po nim.
Wielościany archimedesowe albo półforemne, podobnie jak platońskie, zbudowane są z wielokątów foremnych. Wielokąty muszą być jednakowe, jednak powinny spełniać następujący warunek każdym wierzchołku porządek ułożenia wielokątów musi być taki sam (bardziej fachowo mówi się, że wielościan ma przystające naroża). Rodzina takich wielościanów jest bogatsza od kolekcji brył platońskich. Zawiera trzynaście typów oraz dwie nieskończone serie.
Pierwsza seria jest dość popularna: chodzi o graniastosłupy mające w podstawach wielokąty foremne, ściany boczne muszą być kwadratami. Druga seria - mniej znana - to antygraniastosłupy. Też mają dwie podstawy wielokąty foremne leżące w płaszczyznach równoległych, ale, odpowiednio przekręcone, ściany boczne są za to trójkątami równobocznymi. Najprostszym przykładem jest ośmiościan foremny.
Inne wielościany archimedesowe otrzymuje się przez odpowiednie ścinanie bądź przycinanie wielościanów foremnych. Chociaż wielościany foremne też pasują do definicji wielościanów archimedesowych, to jednak wydziela się je w osobną rodzinę (stąd liczba 13, a nie 18 lub 17 w zależności od tego, gdzie się umieści wspomniany ośmiościan foremny).
Tworzenie nowych obiektów wielościennych można kontynuować na różne sposoby. Przycinanie wielościanów archimedesowych nie prowadzi do specjalnie wyróżnionych rodzin, ale już łączenie środków ścian tak. Jeśli w wielościanie zaznaczymy środki ścian (przez środek możemy rozumieć na przykład środek okręgu opisanego) i każdy z nich połączymy odcinkami ze środkami ścian sąsiednich, otrzymamy wielościan nazywany dualnym lub dwoistym do danego. W ten sposób z wielościanów archimedesowych otrzymamy nową rodzinę brył nazywanych czasem wielościanami Catalana (znakomity matematyk belgijski, żył w latach 1814-1894).
W wielościanach można też przedłużać krawędzie lub przez wybrane wierzchołki prowadzić płaszczyzny. Takie operacje nazywane stellacjami (albo rozgwieżdżeniami) często umożliwiają otrzymanie niezwykle pięknych brył. Prostych, a zarazem efektownych przykładów dostarczają stellacje dwunastościanu foremnego.
Kiedy przedłużymy krawędzie dwunastościanu aż do przecięcia się, dostaniemy dwunastościan gwiaździsty mały zbudowany z dwunastu przenikających się foremnych pięciokątów gwiaździstych; w każdym wierzchołku schodzi się pięć takich pięciokątów. Bryłę tę można również otrzymać, przyklejając do ścian dwunastościanu odpowiednie pięciokątne ostrosłupy. Jeśli teraz w otrzymanym dwunastościanie gwiaździstym w każdej pięciokątnej ścianie połączymy sąsiednie wierzchołki odcinkami i uzupełnimy do wypukłych pięciokątów, dostaniemy dwunastościan wielki. Jest on, podobnie jak zwykły dwunastościan, zbudowany z pięciokątów foremnych, tyle że przenikających się nawzajem (na plakacie). Dwunastościan gwiaździsty mały badany był przez Johannesa Keplera, a powstały z niego dwunastościan wielki został odkryty prawie dwieście lat później przez matematyka i mechanika francuskiego Louisa Poinsota (matematyk i mechanik francuski, 1777-1859). Kepler, znany z praw ruchu planet, studiował z zamiłowaniem własności wielościanów i odkrył jeszcze jeden dwunastościan nazywany gwiaździstym wielkim .
Trzy opisane wielościany gwiaździste wraz z odkrytym znów przez Poinsota dwudziestościanem gwiaździstym wielkim w zasadzie spełniają warunki definicji wielościanu foremnego, tylko ściany nie zawsze są wypukłe i mogą się przecinać. Dlatego dołącza się je czasem do rodziny wielościanów foremnych. Podobne i jeszcze bardziej wymyślne stellacje można wykonać na dwudziestościanie foremnym i wielościanach archimedesowych. Przy pewnych założeniach istnieje 59 stellacji dwudziestościanu.
Można postawić pytanie: czy oprócz tego, że wielościany mogą być urokliwe - przydają się jeszcze do czegoś poza szkolnymi zadaniami?
Spektakularnym przykładem zastosowaniem teorii wielościanów jest krystalografia, gdyż bez wielościanów trudno sobie tu wyobrazić jakiekolwiek istotne badania. Programowanie liniowe, teoria grafów i wiele innych dziedzin również chętnie korzystają z pomysłów tej teorii. Wiele rodzin wielościanów ważnych w zastosowaniach czeka na pełną klasyfikację, wyjaśnienia wymagają pewne procesy stellacji, nie tylko ze względu na zastosowania, ale chociażby po to, żeby nasza wiedza stała się pełniejsza.
Jednym z ciekawszych i intensywnie atakowanych zagadnień jest problem wielościanów ruchomych (zwanych też fleksorami). Wyobraźmy sobie, że konstruujemy wielokąty z odcinków połączonych w wierzchołkach ruchomymi zawiasami. Trójkąt będzie zawsze sztywny, a pozostałe - ruchome; nie zmieniając długości odcinków, możemy zmienić kształt figury. Kwadrat da się przekształcić w romb, a dowolny wielokąt foremny utraci swą foremność w wyniku zmiany kątów.
Podobną operację można wykonać na wielościanach.
Znane wielościany są sztywne; czyżby to była reguła? W XIX wieku Augustyn Cauchy (jeden z najsłynniejszych i najbardziej twórczych matematyków, Francuz, ultrarojalista i niezłomny zwolennik Burbonów, żył w latach 1789-1857) udowodnił, że każdy wielościan wypukły jest sztywny. Przykłady wielościanów ruchomych zostały po raz pierwszy podane przez Roberta Connelly'ego (współczesny matematyk amerykański, obecnie dziekan wydziału matematyki Cornell University w Itaca, w stanie Nowy York) i Klausa Steffana (współczesny matematyk i wspaniały szachista niemiecki) w latach siedemdziesiątych naszego stulecia i są to jedyne znane takie przykłady. Nie wiadomo, czy istnieją jeszcze inne oraz ile ich jest. A jeśli istnieją, to czy mogą być prostsze od znanych, czy ich konstrukcja jest bardziej skomplikowana? Fleksory są przykładami wielościanów mało efektownych i skomplikowanych o nietypowych własnościach.
Trudno przecenić znaczenie wielościanów w matematyce i jej zastosowaniach. Ale również w nauczaniu mogą odgrywać rolę nie tylko straszaka na lekcjach geometrii. Wielościany są namacalnym przykładem, że matematyka wcale nie musi się tylko kojarzyć z rachunkami i algebraicznymi wyrażeniami, że efekty działań matematyków mogą być źródłem doznań estetycznych, również dla osób, które nie mają z matematyką nic wspólnego.
|